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Explica, e ilustra con un ejemplo, el fenómeno de las
ondas estacionarias.
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Un tubo de longitud L = 1,30 m tiene los dos extremos
abiertos a la atmósfera. Calcula las dos frecuencias de excitación sonora
más pequeñas, para las que se formarán ondas estacionarias en el interior
del tubo. Representa gráficamente estas ondas indicando la posición de
nodos y vientres.
Dato: velocidad del sonido en el aire, v = 340 m/s
SOLUCIÓN
- Las onda estacionarias corresponden a un caso particular de interferencia
entre dos ondas idénticas que se propagan en una zona limitada de un mismo
medio y en sentidos opuestos.
Podemos hacerlo en el caso de una cuerda sujeta por ambos extremos (ver
Junio 04-05 Opción B) o, más apropiado a este caso, a un tubo con
los dos extremos abiertos.
Supongamos que se hace vibrar el aire de un tubo, de extremos abiertos, con
distintas frecuencias de oscilación. El resultado es que en cada punto y en
un mismo instante coinciden una onda que se desplaza en un sentido con esa
misma onda reflejada en un extremo, produciéndose diversas situaciones. En
concreto, y para determinadas frecuencias de oscilación, se forma una onda
limitada entre ambos extremos en la que se aprecian claramente puntos fijos
que no vibran (nodos) y puntos que vibran con la máxima amplitud (vientres).
El número de nodos y vientres depende de la frecuencia de oscilación. En
realidad no es exactamente una onda ya que cada punto mantiene su vibración
con el tiempo; podemos decir que se trata de una onda no viajera.
Se puede obtener la ecuación de una onda estacionaria basta sumar la
ecuación de una onda que se desplaza hacia la derecha con la ecuación de la
misma onda que se desplaza hacia la izquierda:
Y1 = A·cos(kx – ωt)
Y2 = A·cos(kx + ωt)
Elegimos la función coseno en vez de la seno, que suele ser la habitual,
para conseguir que al sumar ambas obtengamos una función coseno para la
función espacial (dependiente de x) ya que en el extremo que elijamos como x =
0 debe existir un máximo de amplitud (vientre) y así se ajusta a esta
condición de contorno.
(Lo mismo se podría hacer con fases iniciales distintas de 0, pero resulta
más claro de esta manera)
Y = Y1 + Y2 = A·cos(kx + ωt)
+ A·cos(kx – ωt)
Y = 2·A·cos(k·x)]·cos(ω·t)
La ecuación viene a representar un MAS con una amplitud
variable (A’), que depende de x:
A’ = 2·A·cos(k·x)
VIENTRES
Son vientres los puntos que su amplitud es máxima (A’= 2·A). Esto
significa que
cos (k·x) = ± 1
y por lo tanto:
k·x = 0, π, 2 π, 3
π, etc.
Recordando que el número de ondas (k) es igual a (2 π
/ λ), se puede encontrar la relación entre las posiciones (x) y la
longitud de onda estacionaria:
x = 0, λ/2, λ, 3 λ/2,
...
En general, se puede escribir que los vientres se encuentran situados en:
siendo n = 0, 1, 2, 3 ....
Los vientres se encuentra en los puntos que corresponden a un número
entero de media longitud de onda.
NODOS
Son nodos los puntos que su amplitud es nula (A’= 0). Esto significa que
cos (k·x) = 0
y por lo tanto:
k·x = π /2, 3 π /2,
5 π /2, etc.
y, por lo tanto
x = λ/4, 3 λ/4, 5
λ/4 ...
En general, se puede escribir que los nodos se encuentran situados en:
siendo n = 0, 1, 2, 3 ....
Los nodos se encuentran en los puntos que corresponden a un número impar
de cuartos de longitud de onda.
- Para calcular las frecuencias solicitadas debemos recordar que en un
extremo abierto debe haber un vientre y que la distancia entre dos
vientres consecutivos es λ/2.
Así, en este caso, el primer armónico deberá cumplir que
existen sendos vientres en cada extremo, por lo tanto un nodo vientre en el
punto medio, y que la longitud del tubo debe ser idéntica a la mitad de la
longitud de onda correspondiente.
Luego λ1
= 2,6 m
Por tanto, f1 = v / λ1
= 340 / 2,6 = 131 Hz
Esta onda tendrá la siguiente forma:
La segunda situación de resonancia se dará cuando existan
2 nodos entre los extremos, donde habrá sendos vientres. Eso hace que existan
3 vientres y por tanto la longitud del tubo sea igual a la longitud de la
onda: L = λ2 = 1,3 m
Esa situación corresponde con el segundo armónico
f2 = v / λ2
= 340 / 1,3 = 262 Hz
que, como ya sabíamos, corresponde con una frecuencia
doble de la fundamental.
La forma de esta onda será:
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