Junio 10-11, Opción A
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  1. Explique, e ilustre con un ejemplo, el fenómeno de las ondas estacionarias. Escriba la ecuación de una onda estacionaria y explique el significado de cada uno de sus parámetros.

  2. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos y de longitud L = 65 cm, oscila transversalmente con una frecuencia f = 220 Hz, teniendo la onda estacionaria un único vientre.

1) Determine la longitud de onda y represente gráficamente la oscilación del primer y segundo armónico indicando nodos y vientres.

2) Calcule la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.

SOLUCIÓN
  1. La onda estacionaria corresponde a un caso particular de interferencia entre dos ondas idénticas que se propagan en una zona limitada de un mismo medio y en sentidos opuestos.

Un ejemplo habitual es hacer vibrar una cuerda sujeta en ambos extremos con distintas frecuencias de oscilación. El resultado es que en cada punto y en un mismo instante coinciden una onda que se desplaza en un sentido con esa misma onda reflejada en un extremo, produciéndose diversas situaciones.

En concreto, y para determinadas frecuencias de oscilación, se forma una onda limitada entre ambos extremos en la que se aprecian claramente puntos fijos que no vibran (nodos) y puntos que vibran con la máxima amplitud (vientres). El número de nodos y vientres depende de la frecuencia de oscilación. En realidad no es exactamente una onda ya que cada punto mantiene su vibración con el tiempo; podemos decir que se trata de una onda no viajera.

Para obtener la ecuación de una onda estacionaria basta sumar la ecuación de una onda que se desplaza hacia la derecha con la ecuación de la misma onda que se desplaza hacia la izquierda:

Esta es la ecuación de una onda estacionaria

La ecuación viene a representar un MAS con una amplitud variable (A’), que depende de x:

k es el número de ondas de las ondas que interfieren

ω es la pulsación o frecuencia angular de las mismas

En esta ecuación aparecen puntos especiales que vibran con amplitud máxima (vientres) y puntos que no vibran (nodos). Un estudio más detallado se puede ver en Junio 04-05, Opción B
  1. Al tener un único vientre, nos encontramos con la situación del primer armónico.

1. La distancia entre los dos nodos que existen en los extremos será λ/2 .

Luego λ = 2·L = 130 cm = 1,30 m

El primer armónico, o modo fundamental, como hemos dicho corresponde a la situación de un único vientre entre los dos nodos de los extremos, cuya oscilación podemos representar:

 

Posición de nodos: x = n · λ/2 ( n =n 0, 1, 2 …)

x1 = 0 · (1,3/2) = 0 m

x2 = 1 · (1,3/2) = 0,65 m

Posición de vientres: x = (2·n + 1) · λ/4 ( n =n 0, 1, 2 …)

x1 = (2·0+ 1) · (1,3/4) = 0,325 m

La situación del 2º armónico corresponde a dos vientres y 3 nodos como podemos apreciar en la siguiente representación gráfica Varía la frecuencia y, por tanto la longitud de onda. La nueva longitud de onda será tal que  L = λ2 = 0,65 m

 

Posición de nodos: x = n · λ/2 ( n =n 0, 1, 2 …)

x1 = 0 · (0,65/2) = 0 m

x2 = 1 · (0,65/2) = 0,325 m

x3 = 2 · (0,65/2) = 0,65 m

Posición de vientres: x = (2·n + 1) · λ/4 ( n =n 0, 1, 2 …)

x1 = (2·0+ 1) · (0,65/4) = 0,1625 m

x2 = (2·1+ 1) · (0,65/4) = 0,4875 m

2. La velocidad de propagación la podemos obtener de la expresión v = λ·f = 1,3 · 220 = 286 m/s