Septiembre 12-13, Opción B

a)      ¿Qué es una onda estacionaria? Explicar qué condiciones deben cumplirse para que se forme una onda estacionaria en un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro.

b)      Considerar un tubo sonoro de longitud L = 1,5 m con uno de los extremos abierto a la atmósfera y el otro extremo cerrado. Calcular las dos menores frecuencias de excitación sonora para las que se formarán ondas estacionarias en su interior. Determinar las longitudes de onda correspondientes.

c)      Se abre a la atmósfera el extremo cerrado. Calcular en este caso la frecuencia de excitación sonora necesaria para que se produzcan 3 nodos a lo largo del tubo.

Dato: Velocidad de propagación del sonido en el aire v = 340 m/s

SOLUCIÓN

a)      La onda estacionaria corresponde a un caso particular de interferencia entre dos ondas idénticas que se propagan en una zona limitada de un mismo medio y en sentidos opuestos.

En este caso hacemos vibrar la columna de aire contenida en un tubo, abierto por un extremo y cerrado por el otro, con distintas frecuencias de oscilación. Al llegar a los extremos la onda rebota de distinta manera en cada uno, coincidiendo en el tubo dos ondas que viajan en distinto sentido. Para determinadas frecuencias de oscilación, se forma una onda limitada entre ambos extremos en la que se aprecian claramente puntos fijos que no vibran (nodos) y puntos que vibran con la máxima amplitud (vientres). El número de nodos y vientres depende de la frecuencia de oscilación y de la longitud del tubo. En realidad no es exactamente una onda ya que cada punto mantiene su vibración con el tiempo; podemos decir que se trata de una onda no viajera. En nuestro caso, las frecuencias deberán ser la adecuadas para formar obligatoriamente un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto.

Para obtener la ecuación de una onda estacionaria basta sumar la ecuación de una onda que se desplaza hacia la derecha con la ecuación de la misma onda que se desplaza hacia la izquierda:

La ecuación viene a representar un MAS con una amplitud variable (A’), que depende de x:

Son nodos los puntos que su amplitud es cero (A’= 0). Esto significa que

sen (k·x) = 0

por tanto en x = 0 se formará un nodo (tomaremos el extremo cerrado como origen de coordenadas

En x = L debe haber un vientre. Esto corresponde con la condición   de A’ = 2A

y por lo tanto:  sen (kL) = ± 1

es decir cuando: k·L = π/2, 3π/2, 5π/2 , etc.

Recordando que el número de ondas (k) es igual a (2 π / λ), se puede encontrar la relación entre la longitud del tubo (L) y las longitudes de las ondas estacionarias que se forman:

L =  λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ... = (2n+1)λ/4

siendo n = 0, 1, 2, 3 ....

Así obtendremos resonancia para frecuencias ( v = λ·f )

L = (2n+1)·v/4f

 

Para el primer estado estacionario: f₁ = v/4L

 

La frecuencia correspondiente a cualquier otro estado estacionario es un múltiplo impar de la frecuencia del primer estado (primer armónico):

 

f_n = (2n+1)·v/4L = (2n+1)·f₁

Por tanto solo aparecerán los armónicos impares

 

b)      Aplicando lo expuesto:

f₁ = v/4L = 340/6 = 56,7 Hz y su longitud de onda λ₁ = 4L = 6 m

f₂ = 3·v/4L = 3·340/6 = 170 Hz y su longitud de onda λ₂ = 4L/3 = 2 m

c)      Al ser abierto en ambos extremos habrá sendos vientres en cada extremo. Entre vientre y vientre consecutivos media una distancia de λ/2. Igualmente entre dos nodos consecutivos. Mientras que entre vientre y nodo consecutivos media una distancia de λ/4

Con estas condiciones la longitud del tubo deberá ser: por una parte 2·λ/2 (por los 3 nodos) y por otra parte λ/4 en cada extremo para acabar en vientre, es decir, en total L = 3λ/2

O sea: λ = 1 m que corresponde a una frecuencia f = 340/ 1 = 340 Hz