Septiembre 12-13, Opción A

Una onda transversal se propaga de izquierda a derecha, según el eje OX, a lo largo de una cuerda horizontal tensa e indefinida, siendo su longitud de onda λ = 10 cm. La onda está generada por un oscilador que vibra, en la dirección del eje OY, con un movimiento armónico simple de frecuencia f = 100 Hz y amplitud A = 5 cm. En el instante inicial t = 0, el punto x = 0 de la cuerda tiene elongación nula.

a)      Escribir una expresión matemática de la onda indicando el valor numérico de todos los parámetros (en unidades  S.I.). Escribir la ecuación que describe el movimiento de un punto situado a 30 cm a la derecha del origen.

b)      Determinar la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera de la cuerda.

c)      Dibujar un esquema de la cuerda en una longitud de 20 cm, en el instante t = 0

SOLUCIÓN

a)      La expresión matemática de dicha onda podría ser del tipo y = A·sen(kx-ωt) que correspondería con una onda que se propaga hacia la derecha (signo – en el seno) y que en el instante t=0, el punto x=0 tiene elongación nula (seno de 0 es nulo)

Debemos saber el valor de todos esos parámetros:

·        La amplitud de la onda será la misma que la del oscilador que la genera: A = 0,05 m

·        El número de onda (k) lo podemos obtener a partir de λ:      k = 2π/λ = 20π m^-1

·        La pulsación (ω) se puede obtener a partir de la frecuencia del oscilador, pues será la misma que la de la onda que produce:       ω = 2πf = 200π rad/s

Así para este caso una posible expresión matemática de la onda será:

y = 0,05 sen(20πx - 200πt)  con todas las magnitudes en unidades del SI

Respecto a la ecuación del movimiento de un punto situado a 30 cm del origen, bastará con sustituir x por 0,3 para obtenerla:

y = 0,05 sen(6π - 200πt)

que podemos simplificar dada la periodicidad de la función seno como y = 0,05 sen(- 200πt) y utilizando que sen(-α) = - senα, obtenemos

y = - 0,05 sen(200πt)

que corresponde con la ecuación de un MAS semejante al del oscilador que genera esta onda

pero en oposición de fase con dicho punto.

b)     La velocidad de propagación será v = λf = 10 m/s

Mientras que la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera de la onda, será al igual que la del oscilador v_{osc máx} = A·ω = 10π = 31,4 m/s

Y tendrá lugar cuando ese punto pase por el punto de equilibrio

c)      En el instante t = 0 el aspecto de la cuerda vendrá dado por la ecuación de la onda en ese instante, es decir:

y = 0,05 sen(20πx)

         Si representamos esta ecuación entre x = 0 y x = 0,2 m, dando valores a x: (0, λ/4, λ/2, 3λ/4, λ y así sucesivamente        obtenemos: