Septiembre 06-07, Opción A
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Una partícula de masa m = 20 g. Oscila armónicamente en la forma x(t) = A sen ωt. En la figura se representa la velocidad de la partícula en función del tiempo.

  1. Determinar la frecuencia angular ω y la amplitud A de la oscilación

  2. Calcula la energía cinética y la potencial de la masa m en función del tiempo. Justifica cuánto vale la suma de ambas energías.

SOLUCIÓN

  1. A partir de la gráfica se puede conocer tres datos: el periodo, la velocidad máxima y el valor de la velocidad en el instante inicial (t = 0)

Periodo: T = 0,4 s

La frecuencia angular la podemos hallar a partir del periodo

ω = 2 · π /T = 5 π rd/s

 

Velocidad máxima: vmáx = 10 π m/s

Como vmáx = ± A · ω

Donde A es la amplitud y w corresponde a la frecuencia angular.

Despejando la amplitud, obtenemos: A = vmáx / ω = 2 m

  1. Expresión de la energía cinética de la masa m en función del tiempo:

La ecuación matemática de la gráfica de la velocidad en función del tiempo, según la gráfica, corresponde a:

v = vmax · cos (ω · t)

v = 10 · π · cos (5· π·t)

Y la expresión de la energía cinética en función del tiempo será:

Ec = ˝·m·v˛ = π˛ · cos˛ (5· π·t)

Expresión de la energía potencial de la masa m en función del tiempo

La expresión de la elongación en función del tiempo será:

x = A · sen (ω · t)

x = 2 · sen (5· π·t)

Por otra parte, la constante elástica (k) se puede calcular a partir de la masa de la partícula (m) y de la frecuencia angular (w):

k = m ·ω˛

Y la expresión de la energía potencial en función del tiempo será:

EP = ˝ · k · x˛ = ˝· m · ω˛ · [A·sen (ω · t)]˛ = = π˛ · sen˛ (5· π·t)

En cualquier instante la suma de las energías cinética y potencial corresponderá al valor de energía máxima.

EC + EP = π˛ · cos˛ (5· π·t) + π˛ · sen˛ ((5· π·t) = π˛ · [cos˛ (5· π·t) + sen˛ (5· π·t)]

EC + EP = π˛ (J) = EC máx = EP máx