Junio 06-07, Opción B
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Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armónicamente en torno al origen O de un eje OX. En la figura se representa la aceleración de M en función del tiempo

  1. Determina la frecuencia y la amplitud de la oscilación de M

  2. Determina y representa gráficamente la energía cinética de M en función del tiempo.

  3.  

SOLUCIÓN

  1. A partir de la gráfica se puede conocer tres datos: el periodo, la aceleración máxima y el valor de la aceleración en el instante incial (t = 0)

Periodo: T = 0,2 s

A partir de ese valor, hallamos la frecuencia: f = 1/T = 5 Hz

Aceleración máxima: amáx = 10 m/s˛

Como amáx = - A ˇ ω˛

Donde A es la amplitud máxima y w corresponde a la frecuencia angular.

La frecuencia angular la podemos hallar a partir del periodo (o de la frecuencia)

ω = 2 ˇ π /T = 2 ˇ π ˇ f = 10 π rd/s

Despejando la amplitud máxima, obtenemos: A = amáx / ω˛ = 0,1 / π˛ m

  1. Para expresar la energía cinética en función del tiempo se puede integrar la ecuación de la aceleración o bien, se puede plantear la ecuación de la elongación y, derivando, obtener la ecuación de la velocidad

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales:

Para t = 0, a = - amáx ; esto supone que en el instante inicial, el cuerpo se encuentra en el punto de elongación + A

Por lo tanto, la ecuación de la elongación en función del tiempo corresponde a:

x = A ˇ cos (ω ˇ t)

x = 0,1 / π˛ ˇ cos (10 ˇ π ˇ t)

Derivando respecto a t:

v = - (1 / π) ˇ sen (10 ˇ π ˇ t)

Y la expresión de la energía cinética en función del tiempo será:

Ec = ˝ ˇ M ˇ v˛ = (0,05 / π˛) ˇ sen˛ (10 ˇ π ˇ t)

Y la gráfica de la energía cinética en función del tiempo, donde la energía cinética viene en Julios y el tiempo en segundos