Septiembre 98-99, Opción A

Una cuerda tensa de longitud L = 1 m, situada a lo largo del eje OX y fija por sus dos extremos, se excita transversalmente de modo que se produce una onda estacionaria de ecuación Y = 0,01 sen (2π x) cos (200π t) donde todas las magnitudes se expresan en unidades del S.I. y el origen de coordenadas se ha tomado en el extremo izquierdo de la cuerda.

1. Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas que viajan por la cuerda.

2. Representa la onda estacionaria, indicando la posición de los nodos y los vientres.

1. Comparando la ecuación dada con la ecuación general de una onda estacionaria, obtenemos la siguiente información:

Y = 0,01 sen (2·π·x) cos (200·π·t)

Y = 0,01 sen (k·x) cos (ω ·t)

Número de ondas (k) = 2·π (m^-1 )   ⇒   longitud de onda (λ ) = 2·π /2·π = 1 (m)

Frecuencia angular (ω ) = 200·π (rd/s)

Velocidad de propagación (v) = longitud de onda (λ ) · frecuencia (f)

v = λ · f = λ · (ω / 2·π ) = ω / k = 100 (m/s)

2. Como la longitud de la cuerda coincide con la longitud de onda, existirán 3 nodos (puntos 0, 0.5 m, 1 m) y dos vientres (0.25 m y 0.75 m)

La posición de los nodos y los vientres se obtienen de la resolución de la ecuación de la onda estacionaria.

NODOS:

Amplitud nula: 0,01 sen (2·π·x) = 0   ⇒   sen (2·π·x) = 0 Þ

2·π·x = n ·π (siendo n un número entero)

Despejando x, se obtiene:    x = n /2

· Para n = 0: x_n1 = 0 m

· Para n = 1: x_n2 = 0.5 m

· Para n = 0: x_n3 = 1 m

VIENTRES:

Amplitud máxima: 0,01 sen (2·π ·x) = ± 0.01   ⇒   sen (2·π ·x) = ± 1   ⇒  

2·p ·x = (2·n + 1) ·(π /2) (siendo n un número entero).

Despejando x, se obtiene:     x = (2 n + 1) / 4

· Para n = 0: x_v1 = 0.25 m

· Para n = 1: x_v2 = 0.75 m