Septiembre 95-96, Opción B

Por una cuerda tensa se transmiten simultáneamente dos ondas transversales cuyas ecuaciones, en S.I., son:

Y₁ = 0,02 sen (8x – 600 t)

Y₂ = 0,02 sen (8x + 600 t)

1. Escribe la ecuación de la perturbación que aparece en la cuerda.

2. Calcula la frecuencia fundamental del sonido que oirías si estuvieras cerca de la cuerda

3. Si observas la cuerda con atención verás que hay puntos que no vibran, llamados nodos. Calcula la distancia entre dos nodos consecutivos.

1. Y₁ e Y₂ representan las ecuaciones de dos ondas idénticas; tienen la misma amplitud, la misma longitud de onda y el mismo periodo; únicamente se diferencian en que Y₁ se propaga por la cuerda hacia la derecha e Y₂ se propaga por la cuerda hacia la izquierda.

Cuando las dos ondas coinciden en un punto se produce una superposición entre ondas idénticas que se propagan en sentidos opuestos, lo que da origen a un fenómeno de interferencia.

La ecuación de la perturbación que aparece en la cuerda vendrá dada por:

Llamando: a = (8·x – 600·t) ; y b = (8·x – 600·t); y recordando la relación trigonométrica

Realizando las operaciones correspondientes, y teniendo en cuenta que cos (-a) = cos a, obtenemos la ecuación de la perturbación resultante en la cuerda:

Esta es la ecuación de una onda estacionaria. La ecuación ya no corresponde a la de una onda que viaja por la cuerda y pasa a representar un movimiento armónico simple (M.A.S.) de amplitud variable.

Observando la ecuación, para determinados valores de x, (aquellos que hagan la función seno igual a +1 o -1) la amplitud será máxima (vientres); en cambio, para otros valores de x , (aquellos que hagan la función seno igual a 0) no existe oscilación (nodos). Además, la frecuencia es la misma que la de las ondas que se superponen

2. La frecuencia fundamental del sonido que se percibiría en la cuerda corresponde al primer estado estacionario. Su valor lo podemos hallar de la ecuación de la onda estacionaria. Comparándola con la ecuación general:

Despejando la frecuencia, obtenemos:

3. En los nodos no hay oscilación, por lo que la amplitud es cero. Para localizar los puntos que corresponden a los nodos, basta con determinar en la ecuación de la onda estacionaria los valores de x que anulan la ecuación; en definitiva, los valores de x que anulan la función seno.

Los ángulos para los que se anula la función seno corresponden a 0, π , 2π , 3π , etc. radianes. En definitiva, un número entero (n) de veces el factor π

La distancia entre dos nodos consecutivos (Δ x) la obtendremos dando dos valores consecutivos a n; por ejemplo, n = 0 y n = 1.

(que corresponde a media longitud de onda, como era de esperar)