Septiembre 94-95, Opción A
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Uno de los extremos de una cuerda larga está sujeto a la pared, mientras que el otro le proporcionamos un movimiento vibratorio armónico simple, perpendicular a la cuerda, de ecuación y = 0,4 sen 3t, donde todas las magnitudes están expresadas en el S.I. La tensión y la densidad de la cuerda están calculadas para que por ésta puedan propagarse ondas transversales con una velocidad de 150 m/s.

  1. Escribe la ecuación de la onda que se propaga por la cuerda.

  2. Calcula la longitud de onda.

  3. La onda acabará por llegar a la pared y se reflejará, interfiriendo con la incidente. Explica cualitativamente el fenómeno que se observa en la cuerda, ayudándote de un dibujo, y escribe la ecuación que lo define.

 

SOLUCIÓN

  1. La ecuación de una onda que se propaga en el sentido positivo del eje X puede escribirse como:

(Elegimos esta manera por ser la más parecida a la ecuación del M.A.S. que lleva el extremo de la cuerda)

Para el punto x=0, la ecuación de la onda debe coincidir con la ecuación del movimiento del extremo.

Luego:

Identificando ambas ecuaciones obtenemos:

A = 0,4 m     ω = 3 rad/s     φ0 = 0 rad

Resta por obtener el nº de onda, k.

Para ello contestaremos previamente la pregunta b)

Sabemos que el periodo de la onda producida será el mismo que el del foco emisor, por lo que:

De donde obtenemos k:

Así pues la ecuación de la onda que se propaga por la cuerda será:

  1. Como ya hemos calculado en el apartado anterior:

λ = 100·π m = 314 m

  1. Al llegar al extremo fijo de la pared, la onda se reflejará de tal manera que una cresta se reflejará como valle y viceversa, de manera que el punto fijo permanezca como tal. Es decir, la superposición de ambas ondas, incidente y reflejada, en ese punto debe producir una amplitud nula.

La onda reflejada tendrá las mismas características de la incidente (amplitud, frecuencia y longitud de onda) pero viajará hacia el sentido negativo de las X, por lo que su ecuación será:

El desfase será el correspondiente para que en el extremo fijo (x = longitud de la cuerda) la amplitud resultante sea nula.

La superposición de ambas ondas, incidente y reflejada, resultará una onda estacionaria:

Es decir, cada punto de la cuerda realizará un M.A.S. de la misma frecuencia, pero de amplitud dependiente de su posición, de valor comprendida entre 0,8 m (doble de la amplitud del foco: VIENTRES), y 0 m (no vibran: NODOS). Uno de estos últimos estará en el extremo fijo de la pared.

El número de vientres y nodos vendrá determinado por la longitud de la cuerda:

Distancia entre vientre y nodo consecutivos = λ /4 = 78,5 m