 Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L0 = 10 cm. Cuando colgamos un cuerpo de masa m = 0,1 kg de su extremo inferior, su longitud en equilibrio es Leq = 20 cm. Considera g = 10 m/s².
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¿Cuál es la constante recuperadora de este resorte?.
Supón que, partiendo de la posición de equilibrio, desplazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente.
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¿Con qué amplitud oscilará? ¿Con qué frecuencia? ¿Con qué velocidad pasará por la posición de equilibrio?
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Haz una representación gráfica de la longitud del resorte en función del tiempo, a partir del instante en que soltamos m.
SOLUCIÓN
- En la posición de equilibrio actuarán dos fuerzas opuestas sobre el cuerpo: el peso, hacia abajo, y la fuerza elástica del muelle, hacia arriba. Ambas fuerzas deberán ser iguales, por lo que podemos escribir, aplicando la ley de Hooke a la fuerza realizada por el muelle:
- Al desplazar el cuerpo de la posición de equilibrio, ambas fuerzas seguirán actuando pero dejarán de estar equilibradas, por lo que podremos aplicar la 2ª ley de Newton para obtener la aceleración del movimiento
L representa la longitud del resorte en cualquier instante de la oscilación.
(Para poder establecer la comparación con el muelle oscilando en un plano horizontal, se toma como eje de oscilación el eje OX, y se considera sentido positivo hacia abajo y negativo hacia arriba)
Aplicando la igualdad que se da en la situación de equilibrio, vista en el apartado anterior:
y sustituyendo en la expresión anterior
donde si trasladamos el origen de coordenadas desde el extremo del muelle sin estirar a la posición de equilibrio cuando cuelga la masa, obtenemos una fuerza de tipo elástico que producirá el mismo M.A.S. que cuando se hace oscilar en posición horizontal (igual amplitud, frecuencia, velocidad,...), con la salvedad de que x ya no es el estiramiento del muelle respecto a su longitud natural, sino respecto a la nueva posición de equilibrio.
Así pues:
La amplitud de la oscilación será A = 5 cm = 0,05 m
La frecuencia será:
Y la velocidad cuando pase por la posición de equilibrio será:
- Recordemos que hemos definido x = L - Leq, por lo que L = Leq + x
La posición del cuerpo, x, vendrá dada por la ecuación del M.A.S.:
x = A cosw
t al iniciarse en un extremo, por tanto la longitud del muelle será:
L = 0,2 + 0,05 cos10t
Que representada gráficamente será:
Como se puede ver en la gráfica, la longitud oscila entre un valor máximo de 25 cm y un mínimo de 15 cm, con un periodo ligeramente superior a 0,6 s
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