Septiembre 03-04 Opción B

1. Determina y representa gráficamente la posición (elongación) de la partícula en función del tiempo.

2. Calcula las energías cinética y potencial de la partícula en el instante 0,05 s.

1. La gráfica del enunciado del problema nos proporciona los siguientes datos:

· Velocidad máxima: v_max = 2 m/s;

· Periodo: T = 0,4 s.

· Condiciones iniciales: t = 0, v₀ = 2 m/s. Corresponde a la posición del punto de equilibrio (x₀ = 0), con velocidad positiva y moviéndose hacia las elongaciones x > 0.

La partícula de masa m oscila armónicamente según la ecuación: .

Para poder determinar la ecuación de la elongación debemos hallar los valores de la amplitud A y de la frecuencia angular ω.

La frecuencia angular se puede calcular a partir del periodo:

Conociendo la velocidad máxima, podemos hallar el valor de la amplitud del movimiento:

A = 0,13 m

La ecuación de la elongación correspondiente a este M.A.S. es:

x = 0,13 · sen (5·π ·t)

 

Para hallar la energía cinética debemos obtener previamente la ecuación de la velocidad de este M.A.S..

La ecuación de la velocidad de esa partícula se obtiene a partir de la gráfica directamente o derivando respecto al tiempo la ecuación de la elongación en función del tiempo:

v = 2 · cos (5·π ·t)

En la expresión general de la energía cinética, sustituimos la velocidad (v) por su expresión dependiente del tiempo

Sustituyendo los valores correspondientes y tomando el valor de t = 0,5 s, obtenemos un valor para la energía cinética de :

Ec = 0,1 J

Energía potencial de m en el instante t = 0,05 s:

En la expresión general de la energía potencial elástica, sustituimos la elongación (x) por su expresión dependiente del tiempo (1).

Sustituyendo los valores correspondientes y tomando el valor de t = 0,05 s, obtenemos un valor para la energía potencial elástica de :

Ep = 0,1 J

Al ser la fuerza elástica una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva. Comprobamos que esto es cierto para ese instante: