Septiembre 02-03, Opción A
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Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = a cos ωt, con A = 0,1 m y ω= 20π rad/s.

  1. Determina y representa gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo.

  2. Calcula la energía mecánica de la partícula.

  3. Determina y representa gráficamente la energía potencial de m en función del tiempo..

 

SOLUCIÓN

  1. Determinación de la velocidad:

La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la ecuación de la elongación en función del tiempo (en este caso proporcionada en el enunciado).

Sustituyendo los valores correspondientes:

v = - 2·π ·sen 20·π ·t (v en m/s y t en sg.)

Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo:

Para representar la velocidad en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

La gráfica obtenida es la siguiente:

  1. La energía mecánica en un movimiento armónico simple se puede obtener a partir del valor de la elongación máxima, de la velocidad máxima en el punto de equilibrio o, en cualquier otro punto del movimiento, a partir de la elongación y velocidad en ese punto.

A partir de la ecuación de la velocidad del apartado anterior, se puede obtener el valor de la velocidad máxima que corresponde a los instantes para los que el valor del seno sea +1 o –1. Por lo tanto:

vmax = 2·π m/s

Utilizando la segunda de las expresiones para la energía mecánica, se obtiene:

EM = ½·5·10-3·(2·π )2

EM = 0,01·π 2 J

  1. La ecuación de la energía potencial de una partícula que describe un M.A.S. es:

EP = (½) k·x2

La constante elástica "k" se puede obtener a partir de las ecuaciones de la aceleración de un M.A.S. desde la cinemática y desde la dinámica:

 y

 

Comparando ambas expresiones:

k = m·ω2

Para obtener la ecuación de la energía potencial en función del tiempo, sustituimos la elongación x por su expresión en función del tiempo (dada en el enunciado)

EP = ½ m·ω2·A2·cos2 (ω·t)

Sustituyendo, se obtiene:

EP = = 0,01·π 2 ·cos2 (20·π ·t) J

Representación gráfica de la energía potencial en función del tiempo

Para representar la energía potencial elástica en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

La gráfica obtenida es la siguiente: