Junio 02-03, Opción B

Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud L = 99,2 cm y una bolita que oscila en horizontal con una amplitud A = 6,4 cm y un periodo T = 2,00 s.

1. Calcula la intensidad del campo gravitatorio local, g.

2. Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v(t). Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por su posición de equilibrio.

1. La intensidad de campo gravitatorio se puede obtener a partir de la ecuación del periodo de un péndulo simple (en realidad es una de las aplicaciones directas de un péndulo simple).

Elevando al cuadrado, despejando la intensidad de campo "g" y sustituyendo los valores del enunciado, obtenemos un valor:

g = 9,79 m/s²

 

2. Determinación de la velocidad:

Deducimos en primer lugar la ecuación de la elongación en función del tiempo para, posteriormente, derivándola, obtendremos la ecuación de la velocidad en función del tiempo.

φ₀ corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos indica el enunciado. Sustituyendo en la ecuación t = 0 y x = 0 cm, obtenemos:

sen φ₀ = 0; el primer valor que cumple esa condición es φ₀ = 0.

(Si se hubiese tomado la función coseno, el desfase inicial nos hubiera dado un valor de π /2 radianes, y la relación entre las funciones trigonométricas de ángulos que se diferencian en π /2 radianes es: cos (α + π /2) = sen α, y hubiésemos obtenido la misma ecuación).

Por lo tanto,

x = 6,4· sen π ·t (x en cm y t en sg.)

Hallamos la ecuación de la velocidad derivando la expresión anterior respecto al tiempo:

Sustituyendo los valores correspondientes:

v = 6,4·π ·cos π ·t (v en cm/s y t en sg.)

Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo:

Para representar la velocidad en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...

La gráfica obtenida es la siguiente: