Ordinaria 22-23

La siguiente ecuación describe un Movimiento Armónico Simple de una masa de 2 kg colgada de un muelle, A(t) =5 sen (14πt – π/2), expresada en milímetros.

a)     Obtén la frecuencia angular y el periodo de la oscilación.

b)     ¿En qué momento o momentos del movimiento adquirirá su velocidad máxima? Calcúlala.

c)      Obtén la energía mecánica del oscilador para el punto en el que la velocidad es máxima.

SOLUCIÓN

a)     Por identificación con la ecuación general de un MAS

x = A·sen(ωt +φ₀)

obtenemos:

A_max= 5 mm = 0,005 m

ω = 14π rad/s

φ₀ = -π/2 rad

y del valor de la frecuencia angular ω obtenemos el periodo:

T = 2π/ω = 1/7 s = 0,143 s

b)     Derivando con respecto al tiempo la ecuación del movimiento obtendremos la expresión general de la velocidad:

De donde obtenemos el valor máximo v_max = 0,07π m/s = 0,22 m/s

Esto ocurrirá cuando cos(14πt-π/2) = ±1

Es decir: 14πt-π/2 = nπ (n=0,1,2…)

Luego ocurrirá en los instantes:

Pensemos que esto ocurrirá cada vez que pase por el punto de equilibrio tanto a la ida como a la vuelta. Al ser una función seno con un desfase inicial de –π/2, en t=0 se encuentra en uno de los extremos por lo que al cuarto de periodo (1/28 s) pasará por el punto intermedio, volviendo a pasar repetidamente cada medio periodo (1/14=2/28 s). Es decir a los 1/28 s, 3/28 s, 5/28 s, 7/28 s …

c)      Como acabamos de explicar en b) el punto donde su velocidad es máxima es el punto de equilibrio, donde la energía potencial elástica es nula y, por tanto solo posee energía cinética.

Luego