 La figura representa un péndulo horizontal de resorte. La masa del bloque vale M y la constante elástica del resorte K. No hay rozamientos. Inicialmente el muelle está sin deformar.
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Si estiramos el muelle una distancia A y soltamos, dibuja la gráfica de la aceleración en función de la elongación. El punto O representa la elongación nula, correspondiente al centro de oscilación, (resorte sin tensión). Los puntos P y P’ indican las elongaciones máximas, positiva y negativa, respectivamente.
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Calcula la frecuencia de la oscilación de este péndulo.
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¿Qué energía mecánica posee el sistema muelle-masa?. ¿Y si la masa fuese M/2 y la constante 2K?.
SOLUCIÓN
- Para representar gráficamente la aceleración de la masa M en función de la elongación, hallamos, en primer lugar la dependencia de la primera respecto a la segunda.
Si estiramos el muelle una distancia A y soltamos, sobre la masa M actúa una fuerza elástica neta directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario (la ley de Hooke) que tiende a recuperar la posición de equilibrio. El movimiento que describe la masa M es un movimiento armónico simple. Esa fuerza neta comunica a la masa M una aceleración (2ª ley de Newton).
Despejando la aceleración:
Esta expresión nos indica que la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario. La representación gráfica corresponde a una recta con pendiente negativa (del tipo y = - cte.x, donde la pendiente corresponde a – K/M) que pasa por el punto (0,0).
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Si expresamos la aceleración del movimiento armónico simple en función de la frecuencia angular, tenemos la siguiente expresión:
Comparando ambas expresiones, obtenemos:
y recordando que la frecuencia angular ω se puede expresar en función de la frecuencia "f" o del periodo "T":
Despejando la frecuencia f, obtenemos:
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La energía mecánica del sistema muelle-masa en un movimiento armónico simple se puede expresar en función de la elongación máxima o en función de la velocidad máxima. Recordamos que la fuerza elástica es una fuerza conservativa y, por lo tanto, la energía mecánica se conserva.
Cualquiera de las expresiones anteriores es válida, de modo que la más sencilla para este caso es tomar la primera de ellas.
Si la masa se reduce a la mitad y la constante elástica K se duplica, sustituyendo los nuevos valores en la expresión anterior, obtenemos para la nueva energía mecánica:
La energía mecánica se duplica.
El resultado es el esperado, ya que la masa no interviene en la expresión anterior y, por lo tanto, si la constante se duplica, la energía mecánica también se duplica.
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