Junio 18-19, Opción A
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Una masa m=0,3 kg situada en un plano horizontal sin rozamiento y unida a un muelle horizontal, describe un movimiento vibratorio armónico. Su energía cinética máxima es de 15 J.

 

a) Si se sabe que entre los dos puntos del recorrido de la masa en los que tiene velocidad nula hay una distancia de 50 cm, calcule la amplitud, la frecuencia angular (o pulsación) y el periodo del movimiento y la constante elástica del muelle.

b) Calcule la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante t=3 s, teniendo en cuenta que cuando t=0 s la masa tiene la energía cinética máxima y se mueve según el sentido positivo del eje x.

 SOLUCIÓN

a)      El dato de la energía cinética máxima lo usaremos para obtener su velocidad máxima, que será cuando pase por la posición de equilibrio (x = 0) en cualquiera de los sentidos:

    Por otro lado, la masa tiene velocidad nula en los extremos del movimiento (x = +A y x = -A)

    Por tanto, A = 25 cm = 0,25 m

    Para obtener la frecuencia angular ω, usaremos la relación vmax = A·ω

    De donde obtenemos  

  

    El periodo será:  

  

    Y la constante del muelle:  

  

b)      Como hemos dicho antes, la energía cinética es máxima en x=0, así que en t=0 el móvil pasa por el origen en el sentido positivo de las X, luego su movimiento vendrá descrito por la ecuación

 

   

    En nuestro caso:

                        

    La posición en t = 3 s          x(t=3)=0,25sen(120) = 0,145 m

    Derivando obtenemos la velocidad:

   

    La velocidad en t = 3 s        v(t=3)=10 cos(120) = 8,14 m/s

    Derivando obtenemos la aceleración:  

  

    La aceleración en t = 3 s     a(t=3)=-400 sen(120) = -232 m/s2

    Este último resultado también se podría haber obtenido sabiendo que