Junio 13-14, Opción A

Todos sabemos que fuera del campo gravitatorio de la Tierra los objetos pierden su peso y flotan libremente. Por ello, la masa de los astronautas en el espacio se mide con un aparato (Body Mass Measurement Device) que se basa en el movimiento vibratorio armónico. Cuando el astronauta se coloca en él, el aparato inicia un movimiento vibratorio y mide el periodo de oscilación, a partir del cual calcula la masa del astronauta.

Supongamos que el aparato dispone de un muelle de constante elástica K = 900 N/m. Cuando se coloca en el aparato un astronauta de masa m, medimos un periodo de oscilación de T = 2 s.

a)      Calcular la masa m del astronauta

b)      Calcular la amplitud máxima A para que la aceleración de la masa no supere a_max = g₀/4, donde g₀ = 9,81 m/s² es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Calcular la velocidad máxima para dicha amplitud.

c)      En t = 0 el astronauta se separa una distancia x₀ = A hacia la derecha y se suelta con velocidad nula. Escribir la ecuación de la posición del astronauta en función del tiempo en unidades  S.I. Representarla gráficamente para dos periodos de oscilación.

 SOLUCIÓN

a)  Recordando la expresión del periodo de oscilación en función de la masa que oscila y la constante elástica:

 Despejando m y sustituyendo los datos del enunciado obtenemos:

 m = (900 / π²) kg = 91,19 kg

 b)  La aceleración máxima de un MAS se puede expresar en función de la amplitud:

 a_max =  ω²·A

y recordando que ω = 2 π /T = π rd/s

 A = g₀ / 4 π² = 0,25 m

 c)  Como en t = 0, el astronauta se encuentra en la posición de máxima deformación (x = + A), la expresión de la posición en función del tiempo corresponde a:

 x = A·cos ωt

 Sustituyendo los valores:

x = 0,25·cos π·t

La representación gráfica para dos periodos es: