Extraordinaria 20-21

Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3 m y cuya aceleración viene dada por la expresión a = −9·π²x m/s². Sabiendo que se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos positivos, calcula:

a) El periodo y la constante recuperadora del sistema.

b) La expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo, x = x(t).

c) Las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima.

SOLUCIÓN

a)     Recordemos que en un M.A.S. la aceleración se puede expresar como a=-ω²·x de donde por identificación obtenemos que ω=3π y de ahí:

Así mismo para obtener la constante recuperadora K, recordamos que:

b)     La aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los extremos, por lo que podemos afirmar que en el instante inicial (t=0) está en x=+A. Así que la expresión más cómoda para describir este movimiento será x=Acosωt. Por tanto:

x = 3 cos(3πt)

c)      La velocidad máxima ocurre cuando el sistema pasa por la posición de equilibrio (x=0) y tiene como valor máximo v_max = A·ω = 9π m/s. Por tanto: