Septiembre 07-08 Opción A
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El satélite Giove-B tiene una masa m = 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de 2,32·104 km de la superficie terrestre. Determina:

  1. Energías potencial y cinética del satélite en su órbita.

  2. Periodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la Tierra.

  3. Energía mínima necesaria para ponerlo en órbita y velocidad de escape de la misma.

Datos: G = 6,67·10-11 N·m²·kg-2 ; MT = 5,97·1024 kg ; RT = 6,38·106 m

SOLUCIÓN

  1. Según el enunciado, el radio de la órbita será:

R = RT + h = 2,958·107 m

  1. Para hallar el periodo orbital podemos recurrir a la 3ª ley de Kepler, o bien, al tratarse de una órbita circular y la velocidad orbital será constante, podemos hallarlo a partir de:

(1)

Teniendo en cuenta que la velocidad orbital corresponde a:

Despejando el periodo T de la expresión (1), se obtiene:

T = 50642 s

El valor del momento angular del satélite (L) respecto al centro de la Tierra lo hallamos a partir de la masa del satélite, del valor del radio de su órbita y del valor de la velocidad orbital del satélite, teniendo en cuenta que el ángulo formado por los vectores r y v es de 90º (órbita circular):

L = 5,43·1013 kg·m·s-2

  1. La energía mínima para ponerlo en órbita la deben comunicar los motores de la nave y debe corresponder a la variación de la energía mecánica del satélite:

Recordando que la energía mecánica en órbita circular equivale a la mitad de la Energía potencial a esa distancia

Sustituyendo los valores, se obtiene:

Wmotores = E Mínima = 2,78·1010 J

 

Para hallar la velocidad de escape desde la órbita planteamos el principio de conservación de la energía de modo que la energía que posee el satélite en la órbita mas el suplemento de energía que debe comunicársele (ΔE) será igual a la energía total justo en el punto en el que abandona el campo gravitatorio (infinito). En ese punto podemos considerar que la energía mecánica es 0 (corresponde al origen de referencia de la energía potencial y vamos a calcular el valor de velocidad mínimo que corresponde a la velocidad de escape)

EM(órbita) + ΔE = E∞ = 0

Luego:

ΔE = - EM (órbita)  = 3,37·109 J

Si entendemos que esa energía debemos dársela en forma de energía cinética, corresponde a una velocidad de 3670 m/s

Pero  no debemos entender esta velocidad como la velocidad que hay que añadir a la velocidad orbital que ya posee.

En primer lugar porque la velocidad es una magnitud vectorial y la suma de vectores puede dar como resultado desde la suma de los módulos hasta la resta de los mismos, en función de las direcciones de las velocidades que se sumen.

En segundo lugar porque la energía cinética depende de la velocidad al cuadrado por lo que la suma de energías no corresponde con la suma de las velocidades (por ejemplo el duplicar la velocidad de un objeto hace que su energía cinética se cuadruplique).

Esta velocidad debe asociarse a la energía suplementaria que debe comunicarse al satélite para que "escape" de la atracción gravitatoria de la Tierra.

El enfoque más correcto sería obtenerla como la velocidad que debería tener un objeto en ese punto (orbitara o no) para que escapara de la atracción lunar. Es decir para que llegara hasta el infinito con velocidad nula, o, lo que es lo mismo, su energía total fuera nula. Aplicando este enfoque obtenemos: