Junio 07-08 Opción A

1. Enuncia la Ley de Gravitación Universal. A partir de dicha ley establece el concepto de energía potencial gravitatoria.

2. Un satélite de m = 100 kg describe una órbita circular, sobre el ecuador terrestre, a una distancia tal que su periodo orbital coincide con el de rotación de la Tierra (satélite geoestacionario). Calcula el radio de la órbita, la energía mínima necesaria para situarlo en dicha órbita y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra.

Datos: G = 6,67·10^-11 N·m²·kg^-2 ; M_T = 5,97·10²⁴ kg ; R_T = 8,38·10⁶ m

SOLUCIÓN

1. La Ley de Gravitación Universal que debemos a Newton, se puede enunciar del modo siguiente:

"La fuerza con la que interaccionan dos cuerpos es de tipo atractivo y central y es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos (M y m) y varía inversamente con el cuadrado de la distancia ( R) que separa los centros de las masas."

La constante de proporcionalidad recibe el nombre de constante de gravitación universal (G).

La expresión matemática de esta ley es:

o bien, en forma vectorial:

u_r: representa un vector unitario que tiene la dirección de la línea que une los centros de las masas. El signo negativo hace referencia al carácter atractivo de la fuerza.

El que la fuerza sea de tipo central y dependa únicamente del módulo de la distancia (R) hace que el trabajo de esta fuerza sea independiente del camino y por tanto sea una fuerza conservativa.

En estas condiciones, el trabajo desarrollado por la fuerza conservativa lleva asociada una función de energía potencial cambiada de signo, o dicho de otro modo, la variación negativa de la energía potencial gravitatoria viene medida por el trabajo desarrollado por la fuerza de atracción gravitatoria:

Como lo que en realidad interesa es la variación de la energía potencial, basta con asociar a una posición de referencia inicial el valor de energía potencial igual a 0. Por ejemplo, se asigna el valor de energía potencial igual a cero al punto en el que la fuerza gravitatoria sea nula. Pero se puede tomar cualquier otro punto de referencia.

Según este resultado, la energía potencial gravitatoria corresponde al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, cambiado de signo, para trasladar la masa m desde el infinito hasta la distancia r de la masa M.

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, podemos obtener una expresión para la energía potencial de un sistema de dos cuerpos (de masas M y m) a una distancia r, calculando el trabajo (cambiado de signo) realizado por la fuerza gravitatoria al traer el cuerpo m desde el infinito hasta el punto situado a una distancia r de la masa M.

Resolviendo la integral, se obtiene

2. Satélite geoestacionario: T = 24 horas = 86400 s

Aplicando la 3ª Ley de kepler

Sustituyendo los valores y despejando el rario R, se obtiene:

R = 4,22·10⁷ m

3. La energía mínima necesaria para ponerlo en órbita corresponde a la diferencia entre la energía que poseerá en órbita el satélite menos la energía que tiene inicialmente por el hecho de estar sobre la superficie de la Tierra:

Recordando que la energía mecánica en órbita circular equivale a la mitad de la Energía potencial a esa distancia

Sustituyendo los valores, se obtiene:

E_{C Mínima} = 5,77·10⁹ J

4. El valor del momento angular del satélite (L) respecto al centro de la Tierra lo hallamos a partir de la masa del satélite, del valor del radio de su órbita y del valor de la velocidad orbital del satélite, teniendo en cuenta que el ángulo formado por los vectores r y v es de 90º (órbita circular):

L = 1,3·10¹³ kg·m·s^-2