Septiembre 97-98, Opción B

Una placa conductora cargada positivamente crea en sus proximidades un campo eléctrico uniforme E = 1000 V/m, tal y como se indica en la figura. Desde un punto de la placa se lanza un electrón con velocidad v₀ = 10⁷ m/s formando un ángulo α = 60° con dicha placa, de forma que el electrón describirá una trayectoria como la indicada en la figura.

1. En el punto A, el más alejado de la placa, ¿con qué velocidad se mueve el electrón?. Respecto al punto inicial, ¿cuánto ha variado su energía potencial electrostática?. Calcula la distancia d entre el punto A y la placa.

2. Determina la velocidad (módulo y orientación) del electrón cuando choca con la placa (punto B)

Datos: e = -1,6·10^-19 C; m_e = 9,1·10^-31 kg

 

1. El punto A, más alejado, se puede caracterizar como aquel en que la componente Y de la velocidad se anula, su velocidad sólo tiene componente X. Luego la velocidad en el punto A será (ya que el campo no tiene componente en el eje X):

v_A = v₀·cosα = 0,5·10⁷ m/s

Con esta premisa se puede continuar desde el punto de vista dinámico o desde el punto de vista energético.

• Lo haremos, en primer lugar, según este segundo punto de vista

Conocemos las velocidades en O y en A, por lo que, al ser la fuerza eléctrica una fuerza conservativa, podemos calcular la variación de energía potencial a partir de la variación de energía cinética aplicando la conservación de la energía:

Con lo que obtenemos:

Δ E_P = 3,4125·10^-17 J

Este resultado nos permite conocer la diferencia de potencial entre ambos puntos, que nos permitirá obtener la distancia d, pues al ser un campo uniforme la relación entre campo y potencial es conocida:

Y como Δ V = Δ E_P/q , combinando ambas expresiones obtenemos:

Que nos da, al sustituir los valores:

d = 0,213 m

• Desde el punto de vista dinámico, deberíamos obtener la fuerza que actúa sobre el electrón, F = e·E, que, al ser un campo uniforme, resultará una fuerza constante dirigida verticalmente hacia abajo. Así es claro el paralelismo con un lanzamiento oblicuo estudiado en 1º. Sólo debemos calcular la aceleración de frenado vertical (g en el lanzamiento oblicuo), que resulta:

Y, con las ecuaciones del tiro oblicuo, obtener la altura máxima, d.

Una vez obtenida esta distancia, podemos obtener la variación de la energía potencial mediante las expresiones que relacionan el potencial con el campo y el potencial con la energía potencial, ya vistas.

2. Por consideraciones energéticas la velocidad del electrón en el punto B debe tener el mismo módulo que en el punto de lanzamiento:

• la energía total durante todo el vuelo debe mantenerse constante al actuar exclusivamente la fuerza del campo que es conservativa

• la energía potencial del electrón al volver al plano desde que se lanzó debe ser la misma por ser este plano una superficie equipotencial (perpendicular a las líneas de campo)

Luego podemos concluir que la energía cinética del electrón debe ser la misma y por tanto el módulo de su velocidad: v_B = 10⁷ m/s.

Por otro lado la componente X de dicha velocidad no ha variado a lo largo de todo el vuelo al no existir ninguna aceleración en el eje X (F vertical).

Por tanto, la componente Y de la velocidad debe ser igual a la inicial, aunque habrá variado su sentido.

De donde concluimos que el ángulo que formará el vector velocidad con la horizontal será de -60º

Al mismo resultado llegaremos si planteamos la ecuaciones de tiro oblicuo (composición de movimientos: rectilíneo uniforme en el eje X y rectilíneo uniformemente acelerado en el eje Y, con la aceleración ya obtenida) y las resolvemos para el punto B, caracterizado por y = 0 (como el punto 0)