Junio 06-07, Opción A

Una placa horizontal cargada negativamente crea en sus proximidades un campo eléctrico uniforme orientado tal y como se indica en la figura, con intensidad E = 10³ V/m. Un protón, p, penetra en esta región, con velocidad v₀ = 10⁵ m/s perpendicular a las líneas de E y a una distancia d = 0,2 m de la placa, de forma que describe una trayectoria como la indicada en la figura

1. Durante esta trayectoria, ¿se conserva la energía mecánica de p? Razona tu contestación. Calcula la energía cinética de p cuando choca con la placa. Supón que la única fuerza que actúa sobre p es la eléctrica.

2. Calcula la distancia L al punto de impacto.

3. Comprueba que, si el movimiento se realiza en las proximidades de la superficie terrestre, el peso del protón es despreciable frente a la fuerza eléctrica que actúa sobre él.

m_p = 1,7·10^-27 kg ; e = 1,6·10^-19 C.

SOLUCIÓN

1. La única fuerza que actúa sobre la partícula "p" en su trayectoria es la fuerza eléctrica de atracción que ejerce la placa horizontal. Se trata de una fuerza conservativa y, por lo tanto, el trabajo realizado por esa fuerza se puede hallar a partir de la variación negativa de una función de energía potencial entre los estados final e inicial.

Por otra parte, el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo mide la variación de su energía cinética.

Como ambos trabajos son iguales:

Por lo tanto, la energía mecánica se conserva cuando sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas.

Aplicando el resultado obtenido y llamando 1 al punto en el que se encuentra la masa inicialmente y 2 al punto en el que impacta con la placa:

Sustituyendo los datos del enunciado se obtiene:

E_C2 = 0,5 · 1,7·10^-27 · (10⁵)² + 1,6·10^-19 · 10³ · 0,2 = 4,05·10^-17 J

También se puede calcular la energía cinética considerando que se trata de la composición de dos movimientos, uno horizontal rectilíneo y uniforme ( v_x = v₀) y otro vertical de caída libre (v_y = a_y · t) con una aceleración que es la que le comunica la acción de la fuerza electrostática sobre el protón.

La aceleración que le comunica la fuerza electrostática:

Sustituyendo los valores:

a_y = 9,4·10¹⁰ m/s²

El tiempo que le cuesta llegar a la placa es:

d = ½ · a_y · t²

Despejando t y sustituyendo los valores:

t = 2,06·10^-6 s

La componente vertical de la velocidad es:

v_y = a_y · t = 1,94·10⁵ m/s

Y la energía cinética será:

E_C = ½ · m · v₂² = 4,05·10^-17 J

Siendo

 

2. Utilizando el valor de t obtenido en el apartado anterior, podemos hallar la distancia horizontal recorrida (L)

L = v_x · t = 0,206 m

3. Para comprobar que el peso del protón es despreciable frente a la fuerza eléctrica que actúa sobre él, hallamos la relación entre ambas fuerzas:

Esto significa que la fuerza electrostática es 10¹⁰ veces mayor que el peso del protón