Septiembre 04-05, Opción B

1. Escribe la ecuación de una onda armónica y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en la ecuación.

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje OX con velocidad v = 50 m/s. La amplitud de la onda es A = 0,15 m y su frecuencia es f = 100 Hz. La elongación del punto situado en x = 0 es nula en el instante t = 0.

2. Calcula la longitud de onda

3. Calcula la elongación y la velocidad transversal del punto situado en x = 5 m, en el instante t = 0,1 s

1. Ecuación de una onda armónica: Representa el estado de una perturbación que se propaga por el espacio a lo largo del tiempo. Es una función de dos variables (posición y tiempo).

En el caso que la perturbación se propaga por el eje OX, la ecuación de una onda armónica toma la forma de:

Y(x,t) = A · sen (k·x ± ω·t + δ₀)

Y(x,t): representa el valor de la perturbación en un punto cualquiera "x" en un instante "t".

A: Amplitud. Representa el valor máximo de la perturbación (elongación máxima respecto al equilibrio)

k: número de ondas que hay en una distancia de 2 π metros: (2 π /λ)

ω: frecuencia angular, número de radianes por segundo = 2 π f = 2 π /T

f: frecuencia del movimiento: número de oscilaciones completas por segundo

T: periodo: tiempo que tarda en una oscilación completa.

δ₀: representa el desfase inicial respecto a la posición de equilibrio.

±: Si la perturbación se desplaza hacia la derecha el signo es - y si la perturbación se desplaza hacia la izquierda el signo es +.

 

2. Longitud de onda:

Recordando que la velocidad de propagación corresponde al producto de la longitud de onda por la frecuencia

v = λ ·f

Luego:

λ = 0,5 m

 

3. Ecuación de la elongación

El número de ondas (k) es igual a: 4π m^-1

La frecuencia angular (w) es igual a: 200 π rad/s

Se desplaza hacia la derecha por lo que corresponde el signo (-) en la fase.

Como en el instante inicial, la elongación del punto x = 0 es nula, no hay desfase inicial y δ₀ = 0

Y(x,t) = 0,15 · sen (4·π·x – 200·π·t)

Ecuación de la velocidad transversal

Derivando esa ecuación en función del tiempo, llegamos a:

v(x,t) = 0,15 · (-200· π) · cos (4·π· x – 200·π·t)

v(x,t) = - 30 π · cos (4·π·x – 200·π·t)

Los valores de la elongación y de la velocidad transversal para el punto x = 5 m en el instante t = 0,1 s se hallan sustituyéndolos en ambas ecuaciones:

Y(5;0,1) = = 0,15 · sen (4·π·5 – 200·π·0,1) = 0 m

v(5;0,1) = - 30 π · cos (4·π·5 – 200·π·0,1) = - 30 π m/s