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Escribe la expresión de la elongación, en función del
tiempo, del oscilador armónico. A partir de ella deduce y representa la
evolución temporal de la velocidad y la aceleración de dicho oscilador.
- Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escribe la
ecuación de dicho movimiento, en unidades del S.I. en las siguientes
condiciones: La aceleración máxima es 2π² cm/s²; el periodo T
= 4 s y, al iniciarse el movimiento, la elongación era 4 cm y el cuerpo se
alejaba de la posición de equilibrio.
SOLUCIÓN
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La ecuación general que describe la elongación de un
oscilador armónico simple la podemos escribir como:
Donde A es la amplitud o elongación máxima, máxima separación de la
partícula con respecto a la posición de equilibrio, ω
es la frecuencia angular o pulsación (relacionada con el periodo como
) y δ es la fase inicial o desfase, valor
que ajusta la función seno para que describa el movimiento concreto que
realiza.
La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición por lo
que:
Y la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo por
lo que:
Las representaciones gráficas de estas ecuaciones son (en el caso de
δ = 0):
- Si el periodo es 4 s, la frecuencia angular será ω
= π/2 rad/s
Como hemos visto en el apartado anterior, el valor máximo de la
aceleración es ω2A
Por lo que A = 8 cm
Si en t = 0, x = 4 cm, entonces
sen(δ) = 0,5
Lo que hace que δ
= π/6 ó δ
= 5π/6
Si se aleja de la posición de equilibrio v debe ser positiva, cosa que se
cumple en el caso de δ = π/6
(ya que su coseno es positivo) y no en el otro caso
Por tanto, la ecuación del movimiento será:
x = 0,08 sen (πt/2 +
π/6) en unidades del SI
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