La fuerza elástica aumenta conforme lo hace la deformación x, hasta que se alcanza el equilibrio con la fuerza exterior F. Esa posición corresponde a la elongación (deformación) máxima que tendrá el muelle en este caso. Esta elongación máxima corresponde a la amplitud del movimiento armónico simple que describirá la masa M, una vez deje de actuar la fuerza exterior F.
Para calcular esta amplitud, tenemos en cuenta que en el momento del equilibrio,
y
Sustituyendo los datos que nos proporciona el enunciado, obtenemos que:
A = 0,25 m
Una vez deja de actuar la fuerza F, la única fuerza que existe es la fuerza recuperadora (elástica) que ejerce el muelle sobre la masa M. Esta fuerza es conservativa y origina un movimiento periódico de oscilación (M.A.S.).
Para calcular la frecuencia angular (ω), tenemos en cuenta las expresiones de la aceleración del M.A.S. obtenidas desde la descripción cinemática del movimiento (a = -ω²·x) y desde la descripción dinámica (a = - (k/M) ·x).
Igualando ambas expresiones, podemos obtener el valor de la frecuencia angular:
ω² = k / M è
w = 4 rd/s
Tomando los datos del enunciado y los obtenidos en el apartado anterior, la ecuación de la elongación en función del tiempo la podemos escribir así:
corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos proporciona el enunciado. Según éste, el instante t = 0 corresponde con la máxima deformación (amplitud), x = 0,2 m. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior obtenemos que:
cos = 1; el primer valor que cumple esa condición es = 0.
Por lo tanto,
x = 0,25 cos (4·t) (x en m y t en sg.) (1)
Derivando respecto al tiempo esta ecuación, obtenemos la velocidad en función del tiempo:
v = - 1 sen (4·t) (v en m/sg y t en sg.) (2)
Energía cinética de la masa M en función del tiempo:
En la expresión general de la energía cinética, sustituimos la velocidad por la ecuación anterior (2), y obtenemos la expresión de la energía cinética de la masa M en función del tiempo:
Ec = ½ · M · v² = ½ · 0,5 · (- 1 · sen 4·t)²
Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos
Ec = 0,25 · sen² (4·t) (J)
Representación gráfica de la energía cinética en función del tiempo:
Para representar la energía cinética en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior,
comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...
La gráfica obtenida es la siguiente:
Energía potencial elástica de la masa M en función del tiempo:
En la expresión general de la energía potencial elástica, sustituimos la elongación x por la ecuación anterior (1), y obtenemos la expresión de la energía potencial elástica de la masa M en función del tiempo:
Ep = ½ · k · x² = ½ · 8 · (0,25 · cos 4·t)²
Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos
Ep = 0,25 · cos² (4·t) (J)
Representación gráfica de la energía potencial elástica en función del tiempo:
Para representar la energía potencial elástica en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...
La gráfica obtenida es la siguiente:
Energía mecánica de la masa M en función del tiempo:
Para hallar la energía mecánica de la masa M en función del tiempo, sumamos las expresiones de las energías cinética y potencial anteriores:
EM = Ec + Ep = 0,25 · sen² (4·t) + 0,25 · cos² (4·t) = 0,25 (sen² (4·t) + cos² (4·t))
EM = 0,25 J
Tal y como se podía esperar, ya que la fuerza elástica es una fuerza conservativa, la energía mecánica de la masa M se conserva durante todo el movimiento. En todo instante, la suma de la energía cinética y la energía potencial es 0,25 J.
Representación gráfica de la energía mecánica en función del tiempo:
Como la energía mecánica es una constante, su representación gráfica en función del tiempo correspondería a una línea horizontal paralela al eje de tiempos y con valor constante de energía de 0,25 Julios. Esta gráfica correspondería a la suma de los valores de las dos gráficas en cada instante.
El bloque de la figura, de masa M = 0,5
kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora K = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre M una fuerza F = 2 N en el sentido indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F.