Junio 00-01, Opción B

Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la forma . En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo.

1. Determinar la frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación.

2. Calcular la energía cinética de m en el instante t₁ = 0,5 s, y la potencial en el instante t₂ = 0,75 s. ¿Coinciden?. ¿Por qué?.

1. La gráfica del enunciado del problema nos proporciona los siguientes datos:

· Velocidad máxima: v_max = 2 m/s;

· Periodo: T = 1 s.

· Condiciones iniciales: t = 0, v₀ = 2 m/s. Corresponde a la posición del punto de equilibrio (x₀ = 0)

La partícula de masa m oscila armónicamente según la ecuación: . (1)

La ecuación de la velocidad de esa partícula se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior:

(2)

La velocidad máxima corresponde al instante en el que el cos wt toma el máximo valor (+1 o –1), y su expresión es:

Por otra parte, la frecuencia angular está relacionada con el periodo (T) de modo que:

Sustituyendo los datos proporcionados por el enunciado:

w = 2·π rd/s

A = (1/π ) m

 

2. Energía cinética de m en el instante t₁ = 0,5 s:

En la expresión general de la energía cinética, sustituimos la velocidad (v) por su expresión dependiente del tiempo (2).

Sustituyendo los valores correspondientes y tomando el valor de t = 0,5 s, obtenemos un valor para la energía cinética de :

Ec = 0,02 J

 

Energía potencial de m en el instante t₂ = 0,75 s:

En la expresión general de la energía potencial elástica, sustituimos la elongación (x) por su expresión dependiente del tiempo (1).

Sustituyendo los valores correspondientes y tomando el valor de t = 0,75 s, obtenemos un valor para la energía potencial elástica de :

Ep = 0,02 J

 

Coincidencia del resultado de la Energía cinética y de la Energía potencial elástica:

En un M.A.S. la energía mecánica se conserva. Esto supone que en los instantes en los que la velocidad sea cero, la energía mecánica corresponderá a la energía potencial elástica máxima y en los instantes en los que no haya deformación, la energía mecánica corresponderá a la energía cinética máxima. En los demás instantes la energía mecánica corresponde a la suma de las energías cinética y potencial en ese punto.

Si se comparan los instantes t₁ y t₂ con el periodo (T = 1 s), comprobamos que el primero de los tiempos corresponde a un valor de t = T/2 y el segundo a un valor t = 3T/4.

La posición inicial de la partícula la podemos hallar desde la expresión de la elongación del enunciado que nos indica que en el instante inicial (t = 0), la elongación inicial es x₀ = 0. Se encuentra en el punto de equilibrio. Desde esta posición, transcurrido un cuarto de periodo, la partícula se encontrará en el punto de amplitud máxima (A). Al cabo de otro cuarto de periodo, la partícula vuelve a encontrarse en la posición de equilibrio. Otro cuarto de periodo y la partícula se encuentra en el otro extremo (-A). Tras el último cuarto de periodo, la partícula vuelve a encontrarse en la posición inicial.

Así pues,

• Cuando haya transcurrido medio periodo (t₁), la partícula de masa m se encuentra en la posición de equilibrio que corresponde con el instante en el que la velocidad es máxima. En esa posición la energía mecánica corresponde a la energía cinética máxima, ya que la energía potencial es cero (no hay deformación).

• Transcurridos ¾ de periodo (t₂), la partícula se encuentra en la posición de máxima deformación (x = - A). En esa posición la energía mecánica corresponde a la energía potencial máxima, ya que la energía cinética es cero en ese punto (cambia de sentido el movimiento).