Septiembre 00-01 Opción A

1. Explica el concepto de energía potencial gravitatoria. ¿Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa m situada a una distancia r de otra de masa M?.
2. Seguro que la expresión E_p = mgh para la energía potencial gravitatoria te resulta familiar. Explica su significado y las circunstancias en que es aplicable.

1. Energía potencial gravitatoria: Es la energía potencial de una partícula de masa m asociada a la posición que ocupa en un campo gravitatorio creado por otra partícula de masa M.

Como la fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza conservativa, el trabajo desarrollado por esa fuerza únicamente depende de la posición inicial y final, pero no depende de la trayectoria seguida.

En estas condiciones, el trabajo desarrollado por la fuerza conservativa lleva asociada una función de energía potencial cambiada de signo, o dicho de otro modo, la variación negativa de la energía potencial gravitatoria viene medida por el trabajo desarrollado por la fuerza de atracción gravitatoria:

Como lo que en realidad interesa es la variación de la energía potencial, basta con asociar a una posición de referencia inicial el valor de energía potencial igual a 0. Por ejemplo, se asigna el valor de energía potencial igual a cero al punto en el que la fuerza gravitatoria sea cero. Pero se puede tomar cualquier otro punto de referencia.

Según este resultado, la energía potencial gravitatoria corresponde al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, cambiado de signo, para trasladar la masa m desde el infinito hasta la distancia r de la masa M.

Energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de masa M.

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, basta calcular el trabajo (cambiado de signo) realizado por la fuerza gravitatoria desde el infinito hasta el punto situado a una distancia r de la masa M.

Resolviendo la integral, se obtiene una expresión para la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m situada a una distancia r de otra partícula de mas M

 

2. La expresión E_p = mgh corresponde a la energía potencial de una masa m que se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre.

Se utiliza en los casos en que la altura h alcanzada por el objeto de masa m es mucho menor que el radio terrestre (h << R_T).

Esta expresión corresponde a la energía potencial respecto a la superficie terrestre.

Para llegar a esta expresión basta hallar la diferencia de energía potencial entre la posición a una altura h sobre la superficie terrestre y la superficie terrestre:

D E_P = (E_P)_h - (E_P)_suelo

Atendiendo al paréntesis y resolviéndolo por separado:

Dado que h es mucho más pequeño que R_T, (h << R_T). el denominador se puede considerar igual al radio de la Tierra al cuadrado, sin que se cometa prácticamente error.

Sustituyendo este resultado en la expresión de la diferencia de energía potencial

Recordando que la expresión de la intensidad de campo o aceleración de la gravedad en la superficie terrestre corresponde a:

Sustituyendo, se obtiene:

(E_P)_h -(E_P)_suelo = m·g·h

Asignando el valor 0 para la energía potencial a nivel del suelo terrestre, la expresión anterior queda como:

E_P = m·g·h