Junio 19-20, Opción A
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Junio 19-20, Opción A
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Un satélite artificial de masa m = 800 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra, a una altura h = 400 km sobre su superficie. a) Calcula el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. Si la órbita está en el plano ecuatorial, ¿qué dirección tiene el vector momento angular L? ¿Es L un vector constante? ¿Por qué? b) Determina la cantidad de energía que será necesario suministrarle para que pase a estar en una nueva órbita con una altura h = 800 km. Datos: G = 6,67 x 10-11 N·m2·kg-2; MTierra = 5.97 x 1024 kg; RTierra = 6371 km SOLUCIÓN a) Antes de nada calculemos el radio de la órbita: r = RT + h = 6,771·106 m Como la órbita es circular los vectores r y v son perpendiculares y el módulo del momento angular del satélite será L = m·r·v·sen90 Por tanto hemos de calcular la velocidad del satélite en la órbita. Para ello usando la relación entre la fuerza gravitatoria y la aceleración centrípeta que le produce obtenemos:
Que sustituida en la expresión del momento da un valor para el módulo de: L = 4,154·1013 kg·m2/s La dirección de este vector será, por definición de momento angular como producto vectorial de r por v, perpendicular a ambos. Al ser un órbita ecuatorial, r y v están en ese plano, el vector momento angular llevará la dirección del eje de la Tierra (N-S) (Presumiblemente, como los satélites se ponen en órbita en el sentido de giro de la Tierra, el sentido del vector será hacia el Norte). Este vector será un vector constante, porque al ser la fuerza gravitatoria una fuerza central (F paralelara a r) no tiene momento respecto del centro de la Tierra y como
b) Para obtener la energía que es preciso suministrar para cambiar de órbita debemos obtener la energía del satélite en cada una de las órbitas. Para ello deberíamos obtener la velocidad que debe llevar el satélite en la nueva órbita y obtener dichas energías como suma de las energías cinética y potencial en cada una. Pero podemos abreviar los cálculos si recordamos que en las órbitas circulares la energía de la órbita es la mitad de la energía potencial. Esto proviene de combinar la expresión de la velocidad de órbitas circulares en la energía de la órbita y compararla con la expresión de la energía potencial.
Así pues obtendremos la energía necesaria como:
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