Junio 03-04, Opción A

1. Escribe y comenta la Ley de desintegración exponencial radiactiva

2. Una muestra de ²²²Rn contiene inicialmente 10¹² átomos de este isótopo radiactivo, cuya semivida (o periodo de semidesintegración) es de 3,28 días. ¿Cuántos átomos quedan sin desintegrar al cabo de 10 días? Calcula las actividades inicial y final (tras los 10 días) de esta muestra. Expresa tus resultados en Bq.

1. La radiactividad es un proceso espontáneo que tiene lugar en el núcleo de los átomos y que puede estudiarse mediante leyes estadísticas. La realidad es que no puede predecirse cuándo se desintegrará un núcleo concreto pero sí se puede determinar la probabilidad de que un núcleo cualquiera se desintegre.

Llamamos actividad de una sustancia radiactiva (A) al número de partículas emitidas por unidad de tiempo, o de otro modo, el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo.

En un proceso de desintegración radiactiva, el número de núcleos desintegrados (dN), en un tiempo (dt) es proporcional al número de núcleos presentes en un cierto instante y una constante característica de cada sustancia. Por lo tanto, se puede expresar la actividad de una sustancia (o velocidad de desintegración) como:

Ø N representa el número de núcleos presentes sin desintegrar

Ø λ corresponde a la constante radiactiva o constante de desintegración, característica de cada isótopo; representa la probabilidad por unidad de tiempo de que se desintegre un núcleo; si su valor es grande, la sustancia se desintegra muy rápidamente, y si es pequeña, el proceso será lento. Se mide en unidades inversas de tiempo.

Ø τ representa la vida media de un isótopo (corresponde al inverso de la constante radiactiva l ) y viene a representar un promedio de vida que se espera que tenga un núcleo. Se mide en unidades de tiempo.

Ø El signo – indica que el número de núcleos sin desintegrar va disminuyendo con el tiempo.

Ø La unidad de medida de la actividad en el S.I. es el Bequerel (Bq) que equivale a 1 desintegración por segundo.

Para conocer el estado de una muestra radiactiva se resuelve la ecuación anterior.

Desarrollando la integral:

y en forma exponencial:

o bien, en función de la vida media:

La ley de desintegración exponencial se puede expresar en función de la actividad de la muestra en cualquier instante. Teniendo en cuenta la definición de actividad de una muestra:

Sustituyendo y simplificando la constante radiactiva,

Otra constante característica de cada sustancia es el periodo de semidesintegración (T_1/2) que representa el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los núcleos de la muestra inicial.

Para hallar la relación entre el periodo y la constante radiactiva basta con aplicar la ecuación anterior teniendo en cuenta que cuando haya transcurrido un tiempo igual a un periodo de semidesintegración, el número de núcleos que quedará sin desintegrar será la mitad del número inicial.

Simplificando y tomando logaritmos neperianos:

Subrayar que el periodo de semidesintegración es inversamente proporcional a la constante radiactiva (o directamente proporcional a la vida media). Para un valor alto del periodo, más lentamente se desintegra la sustancia y menor será la constante radiactiva.

 

2. Hallamos primero la constante radiactiva:

Aplicando la ley de la desintegración radiactiva:

N₁₀ = 10¹² · e^-0,2113·10 = 1,2·10¹¹ átomos

La actividad inicial (A₀) la hallamos del modo siguiente:

A₀ = λ ·N₀ = 2,113·10¹¹ desintegraciones/día

Para expresar la actividad en el S.I. se debe pasar a segundos:

A₀ = 0,2113·10¹¹ desintegraciones/día ·(1 día / 86400 sg) = 2,45·10⁶ Bq

Procediendo del mismo modo para la actividad al cabo de 10 días:

A₁₀ = λ ·N₁₀ = 2,536·10¹⁰ desintegraciones/día·(1 día / 86400 sg) = 2,93·10⁵ Bq