Septiembre 06-07, Opción A

1. Determinar la frecuencia angular ω y la amplitud A de la oscilación

2. Calcula la energía cinética y la potencial de la masa m en función del tiempo. Justifica cuánto vale la suma de ambas energías.

SOLUCIÓN

1. A partir de la gráfica se puede conocer tres datos: el periodo, la velocidad máxima y el valor de la velocidad en el instante inicial (t = 0)

Periodo: T = 0,4 s

La frecuencia angular la podemos hallar a partir del periodo

ω = 2 · π /T = 5 π rd/s

 

Velocidad máxima: v_máx = 10 π m/s

Como v_máx = ± A · ω

Donde A es la amplitud y w corresponde a la frecuencia angular.

Despejando la amplitud, obtenemos: A = v_máx / ω = 2 m

2. Expresión de la energía cinética de la masa m en función del tiempo:

La ecuación matemática de la gráfica de la velocidad en función del tiempo, según la gráfica, corresponde a:

v = v_max · cos (ω · t)

v = 10 · π · cos (5· π·t)

Y la expresión de la energía cinética en función del tiempo será:

E_c = ½·m·v² = π² · cos² (5· π·t)

Expresión de la energía potencial de la masa m en función del tiempo

La expresión de la elongación en función del tiempo será:

x = A · sen (ω · t)

x = 2 · sen (5· π·t)

Por otra parte, la constante elástica (k) se puede calcular a partir de la masa de la partícula (m) y de la frecuencia angular (w):

k = m ·ω²

Y la expresión de la energía potencial en función del tiempo será:

E_P = ½ · k · x² = ½· m · ω² · [A·sen (ω · t)]² = = π² · sen² (5· π·t)

En cualquier instante la suma de las energías cinética y potencial corresponderá al valor de energía máxima.

E_C + E_P = π² · cos² (5· π·t) + π² · sen² ((5· π·t) = π² · [cos² (5· π·t) + sen² (5· π·t)]

E_C + E_P = π² (J) = E_{C máx} = E_{P máx}