Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en torno al origen de un eje OX, con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm.
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Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen.
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Determina y representa gráficamente la energía cinética de m en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t = 0, cuando la partícula m pasa por x =0.
SOLUCIÓN
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Determinación de la velocidad:
Deducimos en primer lugar la ecuación de la elongación en función del tiempo para, posteriormente, derivándola, obtendremos la ecuación de la velocidad en función del tiempo.
![](images/Image709.gif)
x = 5·10-2 sen (10·π
·t +φ0)
φ0 corresponde al desfase inicial. Para calcularlo se tienen en cuenta las condiciones iniciales que nos indica el enunciado en su apartado b). Sustituyendo en la ecuación t = 0 y x = 0 cm, obtenemos:
sen φ0 = 0; el primer valor que cumple esa condición es
φ0 = 0.
(Si se hubiese tomado la función coseno, el desfase inicial nos hubiera dado un valor de
π
/2 radianes, y la relación entre las funciones trigonométricas de ángulos que se diferencian en
π
/2 radianes es: cos (α
+ π
/2) = sen α
, y hubiésemos obtenido la misma ecuación).
Por lo tanto,
x = 5·10-2 sen (10·π
·t) (x en m y t en sg.)
Hallamos la ecuación de la velocidad derivando la expresión anterior respecto al tiempo:
![](images/Image711.gif)
Sustituyendo los valores correspondientes:
v = 5·10-1 ·π
·cos (10·π
·t) (v en m/s y t en sg.) (1)
La velocidad máxima corresponde a la velocidad que lleva la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio (x = 0). El valor máximo de la ecuación anterior corresponderá cuando la función trigonométrica del coseno adquiera el valor absoluto máximo (+1 o –1). En esas condiciones, la velocidad máxima toma el valor:
Vmax = 0,5·π
m/s
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Energía cinética de la masa m en función del tiempo:
En la expresión general de la energía cinética, sustituimos la velocidad por la ecuación anterior (1), y obtenemos la expresión de la energía cinética de la masa m en función del tiempo:
Ec = ˝ · m · v˛ = ˝ · m · (5·10-1 ·π
·cos (10·π
·t))˛
Sustituyendo los valores correspondientes, obtenemos
Ec = 1,23·10-2 · cos˛ (10·π
·t) (J)
Representación gráfica de la energía cinética en función del tiempo:
Para representar la energía cinética en función del tiempo, se dan valores a t en la ecuación anterior, comenzando por t = 0 y continuando con t = T/4, T/2, 3T/4, T, etc...
Recordamos que el periodo es el inverso de la frecuencia, T = 1/f.
La gráfica obtenida es la siguiente:
![](images/Image712.gif)
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